二进制

计算机中的数据都是以二进制形式存储和处理的。二进制是一种只包含0和1的数字系统，它是计算机科学的基础。而其原因则是二进制是一种简单的逻辑系统，易于实现和处理，另外，二进制的运算规则也相对简单,同时在物理特性上计算机是由大量的电子元件组成的，这些电子元件通常只有两种稳定的状态。例如，晶体管可以处于导通（表示 1）和截止（表示 0）两种状态；电容器可以充电（表示 1）和放电（表示 0），二进制数字在存储和传输过程中也具有优势。由于二进制数字只有两种状态，0 和 1，可以用高电平和低电平、有磁和无磁、有光和无光等方式来表示。

概念

二进制只包含0和1，由低位到高位是“逢二进一”的。即1+1=10，进而1111+1=10000。

与十进制的转化

使用幂次法。任何十进制数都可以表示为$2^n$+$2^m$+…+$2^0$的形式。
如 “3=$2^1$+$2^0$”，”5=$2^2$+$2^0$”，”10=$2^3$+$2^1$”

于是我们以位来代替幂次，即每一位代表2的该位次幂，就可以使$11111_2$表示$31_{10}$，$10101_2$表示$21_{10}$。

加减乘除

加法规则

$0_2+0_2=0_2$

$0_2+1_2=1_2$

$1_2+0_2=1_2$

$1_2+1_2=10_2$

乘法规则

$0_2*0_2=0_2$

$0_2*1_2=0_2$

$1_2*0_2=0_2$

$1_2*1_2=10_2$

二进制乘法计算主要有以下几种方法：

移位相加法
- 确定被乘数和乘数：
  
  明确要进行乘法运算的两个二进制数，比如被乘数是 1010，乘数是 110。
- 初始化结果为 0：
  
  把最终结果初始化为二进制的 0。
- 逐位处理乘数：
  从乘数的最低位开始，依次检查每一位。
  如果当前位为 1，则将被乘数左移相应的位数，并将结果与当前的部分积相加；如果当前位为 0，则不进行任何操作。
  例如对于上述例子，首先检查乘数 110 的最低位是 0，此时不做任何操作。接着检查第二位是 1，将被乘数 1010 左移一位得到 10100，并与当前结果（初始为 0）相加，结果变为 10100。最后检查最高位是 1，将被乘数 1010 左移两位得到 101000，并与当前结果 10100 相加，得到最终结果 111100。
阵列乘法器方法
- 构建乘法阵列：
  对于两个 n 位的二进制数 A 和 B，构建一个 n×n 的阵列。
  阵列的每一行对应被乘数 A 的一位，每一列对应乘数 B 的一位。
- 计算乘积项：
  在阵列的每个交叉点处，如果被乘数的相应位和乘数的相应位都是 1，则放置一个 “1”，否则放置一个 “0”。
  这样，每个交叉点的值就是被乘数和乘数相应位的乘积。
- 累加乘积项：
  从阵列的最低位开始，逐行进行累加。
  通过进位传递和加法操作，将每一行的乘积项与上一行的进位相加，得到最终的乘积结果。
  例如对于两个 4 位二进制数 1101 和 1011：
  构建的阵列中，第一行与第一列交叉点为 1（因为被乘数的最低位和乘数的最低位都是 1），第二行与第二列交叉点为 1（被乘数的第二位和乘数的第二位都是 1）等。
  从最低位开始累加，经过进位传递和加法操作，最终得到乘积结果 10001111。

减法规则

$0_2-0_2=0_2$

$0_2-1_2=1_2$

$1_2-0_2=1_2$

$1_2-1_2=0_2$

你会注意到，$0_2-1_2=1_2$这一条，这是因为二进制中负数采用补码表示

补码

补码（英语：2’s complement）是一种用二进制表示有符号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。补码以有符号比特的二进制数定义。

正数和0的补码就是该数字本身再补上最高比特0。负数的补码则是将其绝对值按位取反再加1。
补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。

对于一个二进制数，取反操作是将每一位上的数字 “0” 变为 “1”，“1” 变为 “0”。

摘自Wikipedia

以下用4位的补码数字来说明补码系统的数字表示方式。

在表示正数和零时，补码数字和一般二进制一样，唯一的不同是在补码系统中，正数的最高比特恒为0，因此4位的补码正数，最大数字为0111 (7)。
补码数字的负数，最高比特恒为1，4位补码的数字中，最接近0的负数为1111 (-1)，以此类推，因此绝对值最大的负数是1000 (-8)。

你有没有想过，要是1000 (-8)再减1，得到的是1111 (-1)，这和正数的补码一样，这是为什么呢？

溢出

在二进制计算中，当计算结果超出了所使用的数据类型能够表示的范围时，就会发生溢出。

实验

#include <stdio.h>

int main()
{
        //char	1 字节 - 128 到 127 或 0 到 255
        char a = 255;
        char b = 1;
        char c = a + b;
        printf("%d",c);
}

除法规则

在二进制中，除法运算通常是通过移位和减法来实现的。

加载中

二进制的运算法则

二进制

概念